1550年，喬治·瓦薩里出版《大藝術家傳》，首次提出“文藝復興”一詞。書中記載了一則數學與藝術的趣聞。教皇派特使前往佛羅倫薩，想了解畫家喬托·迪·邦多納（后世稱其為“歐洲繪畫之父”）是否名副其實。特使索要一幅畫送給教皇，只見喬托拿出一張紙、一支蘸著紅色顏料的筆，將手臂緊貼在身旁，隨即轉了一圈，在紙上畫出一個相當完美的圓，即便用圓規作畫也不過如此。特使以為被戲弄，教皇看罷卻大為賞識。

時至今日，以“數學與藝術”為主題的著作已不少見，其意圖通常是單邊的，即發掘數學中的藝術性或藝術中的數學性，這使我們看到瑰麗別樣的圖像，比如莫比烏斯帶上的螞蟻以及埃舍爾的無限樓梯等。蔡天新的《數學與藝術》則別出心裁地展示了一種雙邊的視角：“從數學與藝術的發展歷程來揭示它們之間的相似性和本質屬性”是如何形成的。作者搭建了相對翔實的歷史細節、人物生平、背景知識等，還原數學與藝術發展兩大主線在所謂“隱秘深處”的交織與關聯。

數學的對象很多是藝術內容

從古希臘開始，亞里士多德的《詩學》建立了藝術的準則：藝術的本性就是模仿。文藝復興時期的藝術家對數學擁有廣泛興趣，其重要原因是“藝術家要創作逼真的作品，除了顏色、形態和意圖，他或她所面對的對象本身是有一定空間的幾何形體”（第92頁），或者說，藝術的對象就是一定的數學內容。上例中，喬托之圓是數學的，同時也是藝術的，因為它由畫家繪制，供他人感知、欣賞。

數學的對象包含著許多藝術內容。畢達哥拉斯發現，滿足特定數學關系的音程是和諧的，因此提出“萬物皆數”的命題；具有黃金分割比的造型，能給人帶來奇特的美的享受；數論的研究，發現了完美數、友好數、佩爾方程、費爾馬定理等，揭示了自然數本身之美的結果；還有本書封皮上印著的分形的幾何結構，形成眾多具有特別現代感、精美奇妙的藝術圖案。這其中，數學與音樂的關系值得大書特書，這也是本書主題之一。就像大數學家歐拉對音樂理論的研究，在一定程度上幫助他開創了數學新領域——圖論的研究。

數學與藝術發展的“互模擬”關系

邏輯學有一個有趣的概念叫“互模擬”。以互模擬的概念看，作者在整本書中進行了一場左右互搏的游戲，一人分飾兩角，同時飾演支持者與反對者。

從畢達哥拉斯“萬物皆數”這一共同的起點開始，藝術發展上有亞里士多德的《詩學》，在數學史上就能找到歐幾里得的《原本》與之相對，其相似處在于以相似的方式各自建立起藝術與數學的準則。到文藝復興時期，有造型藝術與幾何學同音共律。在德國中部的哈茨山附近，誕生了“數學王子”高斯，也誕生了“音樂家中的數學家”巴赫。19世紀，數學上非歐幾何的研究打破經典歐式幾何的壟斷地位，揭示了并非哪一種幾何學唯一準確地描繪了現實世界；而藝術上以畢加索為代表的立體主義等流派開始了新的實踐，繪畫不再是準確地模仿現實，一張畫布上可同時容納畫家感受到的、思考到的和想象到的。

20世紀以來，在數學與藝術的重要分支和流派中，數學上有體現個性的拓撲學，藝術上就有載歌載舞、個性鮮明的超現實主義；藝術上有體現共性的表現主義，數學上也有表達共性尤其是抽象化的抽象代數在蓬勃發展。

這種從發展進程的視角對互模擬關系的揭示是深刻的，數學之于藝術，藝術之于數學，都不僅僅是一個隨手借助的工具而已。

通識教育與學科交叉的重要意義

或許數學研究和藝術創作是被類似的創造力所驅動，這種創造力賦予數學不同于其他科學的美，冠以數學“科學皇后”之譽，也為藝術開拓出源源不斷的新的審美領域。數學與藝術的發展箭頭還將向前，當作者從本書的游戲中退場，留給讀者的是什么？繼續這場游戲，還是開啟新游戲的機會？

繼續游戲的意義同樣是雙向的。數學研究者或藝術創作者在追尋新的創造力時，相互借鑒或能相互啟發。而開啟新游戲，意味著要更廣泛地思考在不同學科分科之間內在的關聯。不僅在數學與藝術中間沒有刻板印象里“理性”與“感性”的楚河漢界，許多虛妄的壁壘都阻撓著更深的認識。這也讓我們更能理解當前教育界提倡通識教育與學科交叉的重要意義。